1. Un défi qui paraît absurde
Une feuille de papier, une règle simple, une question démesurée.
Une feuille de papier ordinaire mesure environ \(0{,}1\) mm d'épaisseur. On la plie en deux : la pile compte deux couches. On replie la pile en deux : quatre couches. Et ainsi de suite.
Le problème posé. Si l'on pouvait plier la feuille autant de fois que l'on veut, combien de pliages faudrait-il pour que son épaisseur dépasse la distance de la Terre à la Lune, \(384\,400\) km ? Mille ? Un million ? Ce parcours y répond, d'abord à la main sur un cas modeste, puis avec un programme, quand le calcul à la main devient trop long.
On note \(u_n\) l'épaisseur de la pile, en mm, après \(n\) pliages : \(u_0 = 0{,}1\).
Plier en deux superpose deux fois la pile précédente : l'épaisseur après le pliage suivant, \(u_{n+1}\), vaut deux fois l'épaisseur \(u_n\). Chaque terme s'obtient à partir du précédent : c'est une relation de récurrence, avec \(u_0 = 0{,}1\) (voir l'exemple 2).
2. Les dix premiers pliages
Calculer de proche en proche, comme pour l'exemple 2 du cours.
La relation \(u_{n+1} = 2u_n\) donne chaque terme à partir du précédent : pour connaître \(u_{10}\), il faut passer par \(u_1\), \(u_2\)… jusqu'à \(u_9\). Dévoilez le tableau ligne par ligne, en prévoyant chaque valeur avant de la voir.
| \(n\) | \(u_n\) (en mm) |
|---|---|
| 0 | \(0{,}1\) |
| 1 | \(0{,}2\) |
| 2 | \(0{,}4\) |
| 3 | \(0{,}8\) |
| 4 | \(1{,}6\) |
| 5 | \(3{,}2\) |
| 6 | \(6{,}4\) |
| 7 | \(12{,}8\) |
| 8 | \(25{,}6\) |
| 9 | \(51{,}2\) |
| 10 | \(102{,}4\) |
Après dix pliages, la pile dépasse déjà \(10\) cm : \(2^{10} = 1\,024\) couches de papier.
Aide au calcul : les premières puissances de 2
\(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\). Doubler \(n\) fois, c'est multiplier par \(2^n\).
On calcule de proche en proche, en doublant à chaque fois : \(v_1 = 1\), \(v_2 = 2\), \(v_3 = 4\). Autrement dit, \(3\) pliages multiplient l'épaisseur par \(2^{3} = 8\) : \(0{,}5 \times 8 = 4\).
3. Une suite qui ne fait que monter
Le nuage de points, puis la démonstration du sens de variation.
\(n\) = · épaisseur : mm
Le nuage monte de plus en plus vite. Mais un dessin ne démontre rien : on démontre le sens de variation par le calcul. La suite \(u\) est strictement positive, on peut donc employer la méthode du rapport (voir l'exemple 5) :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2u_n}{u_n} = 2 > 1,\]donc \(u_{n+1} > u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
Ce que cela garantit
La suite \(u\) est strictement croissante : chaque pliage rend la pile plus épaisse que la précédente. C'est ce qui donnera un sens à la question « à partir de combien de pliages ? ».
La suite est strictement positive : on peut comparer \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = 0{,}8\) à \(1\). Ici \(0{,}8 < 1\), donc \(w_{n+1} < w_n\) pour tout \(n\) : la suite est strictement décroissante (voir l'exemple 5). Le calcul vaut pour tous les rangs : inutile de calculer d'autres termes.
4. Un premier seuil : un mètre
Avant la Lune, un cas que l'on peut traiter à la main.
Combien de pliages faut-il pour que la pile dépasse \(1\) m, soit \(1\,000\) mm ? On reprend le tableau là où l'on s'était arrêté, et l'on compare chaque terme au seuil.
| \(n\) | \(u_n\) (en mm) | comparé au seuil |
|---|---|---|
| 10 | \(102{,}4\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 11 | \(204{,}8\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 12 | \(409{,}6\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 13 | \(819{,}2\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 14 | \(1638{,}4\) | \(> 1\,000\) |
Le résultat à retenir pour la suite
\(u_{13} = 819{,}2 \leqslant 1\,000\) et \(u_{14} = 1\,638{,}4 > 1\,000\) : il faut 14 pliages pour dépasser un mètre. Cette valeur servira à vérifier le programme.
Dans le tableau de l'écran 2 : \(u_{8} = 25{,}6 \leqslant 50\) et \(u_{9} = 51{,}2 > 50\). Il faut donc \(9\) pliages. Comme la suite est croissante, tous les pliages suivants dépassent eux aussi \(50\) mm.
5. 2002 : douze pliages dans un centre commercial
Ce que le calcul dit, et ce que le papier permet.
On a longtemps répété qu'une feuille ne se plie pas en deux plus de sept fois. En 2002, Britney Gallivan, lycéenne à Pomona, en Californie, plie en deux douze fois une bande de papier de soie longue de plus d'un kilomètre, en huit heures de travail dans l'allée d'un centre commercial. Douze pliages donnent \(2^{12} = 4\,096\) couches.
Dans la réalité, on ne plie pas plus. Mais la suite, elle, continue : rien n'empêche de calculer \(u_{20}\), \(u_{30}\), \(u_{40}\)… Pour la Lune, il faut comparer les termes à \(384\,400\) km, c'est-à-dire à \(384\,400\,000\,000\) mm, en doublant des dizaines de fois. À la main, c'est long et les erreurs guettent : c'est le travail d'un programme.
L'algorithme, écrit en français
\(u \leftarrow 0{,}1\) et \(n \leftarrow 0\)
Tant que \(u \leqslant\) seuil : \(u \leftarrow 2 \times u\) puis \(n \leftarrow n + 1\)
Afficher \(n\)
« Tant que » répète les deux instructions aussi longtemps que la pile ne dépasse pas le seuil. Quand la boucle s'arrête, \(n\) est le premier rang pour lequel \(u_n\) dépasse le seuil : c'est exactement ce que l'on a fait à la main à l'écran 4.
6. La console Python : vérifier, puis viser plus haut
Le programme est écrit ; vous n'avez qu'à l'exécuter, puis à changer un nombre.
Voici l'algorithme traduit en Python. Ce qui suit un # est un commentaire, ignoré par
Python. Le séparateur décimal est le point : 0.1 pour \(0{,}1\).
Étape 1 — valider l'outil. Exécutez le programme tel quel : il doit afficher
\(14\) pliages, le résultat de l'écran 4. Étape 2 — l'employer. Remplacez
1000 par la hauteur de votre objectif (question ci-dessous), convertie en mm, puis
exécutez de nouveau.
Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.
while finit-elle par s'arrêter ?La boucle tourne tant que \(u \leqslant\) seuil. Comme \(u\) est multiplié par \(2\) à chaque tour, la suite est croissante et finit par dépasser n'importe quel seuil : la condition devient fausse.
Aide pour la conversion en mm
\(1\) m \(= 1\,000\) mm et \(1\) km \(= 1\,000\,000\) mm. Pour votre objectif, la ligne à écrire est
seuil = 400000000 (sans espace entre les chiffres).
Avec seuil = 400000000 (la hauteur convertie en mm), le programme affiche \(32\) pliages, pour une épaisseur de \(429496729{,}6\) mm. Laisser la hauteur en kilomètres (seuil = 400) donnerait \(12\) : la feuille est mesurée en mm, le seuil doit l'être aussi.
7. Ce qu'il faut retenir
Le fil, d'un bout à l'autre.
La démarche
Une situation où chaque étape double la précédente se modélise par une relation de récurrence, \(u_{n+1} = 2u_n\). La méthode du rapport montre que la suite est croissante. Pour trouver à partir de quel rang elle dépasse un seuil, on calcule les termes un à un jusqu'au premier qui dépasse : à la main quand c'est court, avec une boucle « tant que » sinon, après avoir vérifié le programme sur un cas connu.
Et la Lune ? Avec seuil = 384400000000, le programme répond \(42\) pliages : à peine
quarante-deux doublements suffisent pour passer de \(0{,}1\) mm à plus de \(384\,400\) km.
\(u_{n+1} = 2u_n > u_n\) pour tout \(n\) : la suite est strictement croissante (voir la définition 2). Une fois le seuil dépassé, les termes suivants, encore plus grands, le dépassent aussi. Pour une suite qui monte puis redescend, le premier terme au-dessus du seuil ne dirait rien des suivants.
8. Votre parcours
Le bilan des sept questions.
Votre parcours
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