1. Une idée vieille de vingt-trois siècles
Comment mesurer une longueur courbe quand on ne sait mesurer que des segments ?
Vers 250 avant notre ère, Archimède se heurte à un problème que personne n'avait su contourner : le périmètre d'un cercle. On sait additionner les côtés d'un polygone ; on ne sait pas mesurer un arc. Son idée est d'une simplicité redoutable : remplacer le cercle par un polygone régulier inscrit, dont on sait tout calculer, puis augmenter le nombre de côtés jusqu'à ce que la différence devienne invisible.
Périmètre du polygone : · périmètre du cercle : 6,2831853
Le cercle utilisé ici est celui du cours : le cercle trigonométrique, de rayon \(1\). Son périmètre vaut donc \(2\pi\). Faites glisser le curseur : le polygone se rapproche du cercle, et son périmètre de \(2\pi\).
2. Un côté, un sinus
Le passage décisif : la longueur d'un côté est un sinus.
Prenons deux sommets voisins \(A\) et \(B\) du polygone à \(n\) côtés. Les \(n\) côtés se partagent équitablement le tour complet, donc l'angle au centre vaut
\[\widehat{AOB} = \frac{2\pi}{n}.\]Soit \(M\) le milieu de \([AB]\). Par symétrie, la droite \((OM)\) coupe l'angle en deux parts égales et elle est perpendiculaire à \((AB)\) :
\[\widehat{AOM} = \frac{\pi}{n}.\]Le triangle \(OAM\) est rectangle en \(M\), et son hypoténuse \(OA\) est un rayon du cercle trigonométrique : elle vaut \(1\). Le sinus de l'angle \(\widehat{AOM}\) est donc exactement la longueur \(AM\) (voir la définition 4) :
\[\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{AM}{OA} = AM.\]Pourquoi le sinus est-il ici une longueur ?
Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle est l'ordonnée du point associé, c'est-à-dire la longueur de sa projection sur l'axe vertical — parce que le rayon vaut \(1\). En plaçant l'angle \(\widehat{AOM}\) en position standard, \(A\) vient sur le cercle et \(AM\) devient précisément cette ordonnée. C'est le rayon \(1\) qui fait toute la différence : dans un cercle de rayon \(R\), on aurait obtenu \(AM = R\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\).
Le point \(M\) est le milieu de \([AB]\), donc \(AM = \dfrac{AB}{2}\). Or nous venons d'établir que \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right) = AM\). En rapprochant les deux :
\[\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) = AM = \frac{AB}{2} \quad\text{d'où}\quad AB = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right).\]3. Le demi-périmètre, ou presque \(\pi\)
Une ligne de calcul, et \(\pi\) apparaît.
On vient de voir que \(AB = 2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\). Cette longueur change avec le nombre de côtés : un carré n'a pas le même côté qu'un octogone. Comme elle dépend de \(n\), on la note \(a_n\) :
\[a_n = AB = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right).\]Le polygone a \(n\) côtés tous égaux, d'où son périmètre, que l'on note \(P_n\) :
\[P_n = n \times a_n = 2n\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right).\]Ce polygone est à l'intérieur du cercle : pour aller de \(A\) à \(B\), le segment coupe au plus court, tandis que l'arc fait le détour par le cercle. Chaque côté est donc plus court que l'arc qu'il remplace, et en additionnant les \(n\) morceaux :
\[P_n \lt 2\pi.\]En divisant par \(2\) :
Le résultat clé
\[\frac{P_n}{2} = n\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \lt \pi.\]Le demi-périmètre du polygone inscrit est une valeur approchée de \(\pi\) par défaut.
\(a_6 = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1\) (voir le tableau des valeurs remarquables du cours). Ne pas oublier le facteur \(2\) : le sinus ne donne que la moitié du côté.
Le cas de l'hexagone, en détail
Pour \(n = 6\), \(a_6 = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1\) (voir le tableau des valeurs remarquables du cours). Autrement dit, le côté de l'hexagone régulier inscrit est égal au rayon : les six triangles qui le composent sont équilatéraux. Son demi-périmètre vaut \(\frac{6 \times 1}{2} = 3\) : c'est la toute première valeur approchée de \(\pi\), et elle ne coûte aucun calcul.
4. Regarder les nombres
Six lignes suffisent pour voir la convergence.
Calculons \(u_n = n\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\) en doublant à chaque fois le nombre de côtés. Dévoilez les valeurs une à une.
| \(n\) | \(u_n = n\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\) |
|---|---|
| 6 | 3,0000000 |
| 12 | 3,1058285 |
| 24 | 3,1326286 |
| 48 | 3,1393502 |
| 96 | 3,1410320 |
| 192 | 3,1414525 |
Pour mémoire : \(\pi = 3{,}1415926\ldots\)
La progression est régulière mais lente : chaque doublement du nombre de côtés ne gagne guère plus d'une décimale toutes les deux étapes. Archimède, lui, s'est arrêté à \(96\) côtés — et à la main.
\(u_{24} \approx 3{,}1326\) ne dépasse pas encore \(3{,}135\), alors que \(u_{48} \approx 3{,}1394\) le dépasse.
5. Le serpent qui se mord la queue
Un programme d'une ligne… qui ne prouve rien.
Confions le calcul à une machine. En Python, cela tient en trois lignes :
Le programme affiche bien 3.1410319508905093. Et pourtant quelque chose cloche. Regardez la première ligne : pour calculer une valeur approchée de \(\pi\), nous avons commencé par… demander \(\pi\) à la machine.
Le problème d'Archimède
La formule \(u_n = n\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\) explique pourquoi l'approximation fonctionne. Mais elle ne permet pas de découvrir \(\pi\), puisqu'il faut déjà le connaître pour l'utiliser. Archimède, lui, ne disposait d'aucune valeur décimale de \(\pi\) : c'est justement ce qu'il cherchait.
6. Doubler les côtés, couper l'angle en deux
Toute la méthode tient dans un triangle rectangle.
Rappelons la notation : \(a_n\) est la longueur d'un côté du polygone à \(n\) côtés. Doubler le nombre de côtés donnera donc un côté de longueur \(a_{2n}\), et c'est lui que nous cherchons à exprimer.
Repartons de deux sommets voisins \(A\) et \(B\), et appelons \(C\) le milieu de l'arc \(AB\). Ce point \(C\) est précisément le nouveau sommet qui apparaît lorsqu'on double le nombre de côtés : le côté \(AB\) du polygone à \(n\) côtés est remplacé par les deux côtés \(AC\) et \(CB\) du polygone à \(2n\) côtés. Autrement dit \(a_n = AB\) et \(a_{2n} = AC\).
Notre objectif : exprimer \(a_{2n} = AC\) uniquement à partir de \(a_n = AB\), sans jamais écrire \(\pi\). Trois longueurs suffisent, et deux d'entre elles sont déjà connues :
\(AM = \dfrac{a_n}{2}\), \(OM = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), \(MC = OC - OM = 1 - OM\).
La première étape est de se débarrasser du cosinus. Dans le triangle \(OAM\), rectangle en \(M\), le théorème de Pythagore donne \(OM^2 + AM^2 = OA^2 = 1\), donc
\[OM = \sqrt{1 - \frac{a_n^2}{4}} = \frac{\sqrt{4 - a_n^2}}{2}.\]Il ne reste qu'à appliquer Pythagore une seconde fois, dans le triangle \(AMC\) rectangle en \(M\) :
\[a_{2n}^{\,2} = AC^2 = AM^2 + MC^2.\]Le détail du calcul, ligne à ligne
\[AC^2 = \frac{a_n^2}{4} + \left(1 - \frac{\sqrt{4-a_n^2}}{2}\right)^{2}\] \[= \frac{a_n^2}{4} + 1 - \sqrt{4-a_n^2} + \frac{4-a_n^2}{4}\] \[= \frac{a_n^2}{4} + 1 - \sqrt{4-a_n^2} + 1 - \frac{a_n^2}{4}\] \[= 2 - \sqrt{4-a_n^2}.\]Les deux termes en \(a_n^2\) se simplifient : c'est ce qui rend la formule finale si courte.
La relation de doublement
\[a_{2n} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - a_n^{\,2}}}\]Plus aucun \(\pi\), plus aucun sinus : seulement des racines carrées. La machine peut travailler.
7. La machine d'Archimède
Un point de départ, une relation, et l'on tourne.
Le point de départ est l'hexagone, dont nous savons que \(a_6 = 1\) sans aucun calcul. Puis la relation de doublement fait le reste. Appuyez sur Doubler : le polygone gagne des côtés, et les décimales exactes de \(\pi\) apparaissent en vert.
| côtés \(n\) | 6 |
|---|---|
| côté \(a_n\) | 1 |
| \(\dfrac{n\,a_n}{2}\) | 3 |
\(\pi = 3{,}1415926535\ldots\)
Le même calcul, confié à Python, tient en six lignes :
Vous pouvez l'exécuter sans quitter la page. La console n'est téléchargée qu'au premier clic, pour ne pas alourdir le reste du parcours.
Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.
Après huit doublements, la machine affiche 3,1415904632 : ses cinq premières décimales, en vert, sont celles de \(\pi = 3{,}1415926535\ldots\)
8. Ce qu'il faut retenir
Le chemin, d'un bout à l'autre.
Le fil du raisonnement
La longueur d'un côté est un sinus, parce que le rayon vaut \(1\) :
\[a_n = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \;\longrightarrow\; \frac{P_n}{2} = n\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \lt \pi.\]Mais cette écriture contient déjà \(\pi\). La géométrie fournit alors une seconde route, purement algébrique :
\[a_6 = 1 \;\longrightarrow\; a_{2n} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - a_n^{\,2}}} \;\longrightarrow\; \pi \approx \frac{n\,a_n}{2}.\]La trigonométrie ne disparaît jamais du raisonnement : c'est elle qui explique pourquoi doubler le nombre de côtés revient à couper l'angle au centre en deux. L'algorithme, lui, permet ensuite de se passer de la valeur de \(\pi\) — ce qu'Archimède faisait déjà, sans machine, avec des fractions.
Et si on double vingt fois de plus ?
La précision cesse de progresser, puis se dégrade : la soustraction \(4 - a_n^2\) porte sur deux nombres presque égaux lorsque \(a_n\) devient minuscule, et la machine perd des chiffres significatifs. Vers trente doublements, le programme renvoie une valeur franchement fausse. C'est un piège classique du calcul numérique : une formule exacte en mathématiques peut être mauvaise en machine.
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