1. Zoomer jusqu'à ce que ça devienne droit
La phrase qui ouvre le chapitre, mise à l'épreuve.
Le cours démarre sur une affirmation surprenante : en zoomant suffisamment sur un point d'une courbe, on finit par voir une droite. Reprenons la courbe de l'introduction, celle d'équation \(y = x^3 - 3x^2 + x + 2\), et plaçons-y le point \(A\) d'abscisse \(2{,}2\).
Largeur de la fenêtre : · pente du trait pointillé, d'un bord à l'autre :
Poussez le curseur à fond. La courbe se redresse, et la pente mesurée d'un bord à l'autre de la fenêtre cesse de bouger : elle se fixe sur une valeur.
La tangente en \(A\) est la droite qui passe par \(A\) avec la pente \(f'(2{,}2)\) (voir la définition 3). C'est elle que le zoom fait apparaître : de tout près, la courbe et sa tangente ne se distinguent plus.
2. Cette droite a une pente, et c'est un nombre du cours
Ce que l'œil voit, le calcul le donne exactement.
Le trait pointillé de l'écran précédent est une sécante : elle joint deux points de la courbe, et sa pente est un taux de variation (voir la définition 1). Calculons ces taux entre \(2{,}2\) et \(2{,}2 + h\), pour des \(h\) de plus en plus petits.
| \(h\) | \(\dfrac{f(2{,}2+h)-f(2{,}2)}{h}\) |
|---|---|
| 1 | 6,92 |
| 0,1 | 2,69 |
| 0,01 | 2,3561 |
| 0,001 | 2,323601 |
| 0,0001 | 2,32036 |
Les taux se stabilisent. On admet que la valeur exacte est \(f'(2{,}2) = 2{,}32\) : c'est le nombre dérivé de \(f\) en \(2{,}2\) (voir la définition 2).
Le lien à retenir
Zoomer sur un point, c'est regarder la sécante se rapprocher de la tangente. La pente que l'on finit par lire, c'est le nombre dérivé \(f'(a)\) — et rien d'autre.
D'après le théorème 2, \(y = f(a) + f'(a)(x-a)\) : l'ordonnée du point vient en premier, la pente multiplie la parenthèse. Oublier \(f(a)\) donnerait une droite parallèle à la tangente, mais passant trop bas.
3. Un coin qui résiste au zoom
Première mauvaise surprise : la valeur absolue en \(0\).
La fonction valeur absolue, \(x \mapsto |x|\), vaut \(x\) pour \(x \geqslant 0\) et \(-x\) pour \(x < 0\). Sa courbe est un « v ». Zoomons sur la pointe.
Largeur de la fenêtre :
On a beau zoomer, le « v » reste un « v » : la figure ne change pas d'aspect. Et les taux le disent aussi. Pour \(h > 0\), le taux entre \(0\) et \(h\) vaut \(\dfrac{h-0}{h} = 1\) ; pour \(h < 0\), il vaut \(\dfrac{-h-0}{h} = -1\).
Être dérivable en \(a\), c'est que le taux se rapproche d'un nombre quand \(h\) se rapproche de \(0\) (définition 2). Ici il y en a deux, selon le côté : la courbe n'admet pas de tangente en \(0\).
4. Une verticale qui résiste au zoom
Deuxième mauvaise surprise : la racine carrée en \(0\).
Cette fois la courbe n'a pas de coin : elle est lisse. Mais zoomez sur l'origine.
Largeur de la fenêtre :
Au lieu de se coucher, la courbe se redresse : plus on zoome, plus elle paraît verticale. Les taux entre \(0\) et \(h\) le confirment — ici \(\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}\).
| \(h\) | \(\dfrac{\sqrt{h}}{h}\) |
|---|---|
| 0,01 | 10 |
| 0,0001 | 100 |
| 0,000001 | 1000 |
| 0,00000001 | 10000 |
C'est le théorème 1 du cours
Le taux devient aussi grand que l'on veut : il ne se rapproche d'aucun nombre réel. La fonction racine carrée n'est pas dérivable en \(0\), et sa courbe « devient verticale » à l'origine.
\(\sqrt{0{,}0004} = 0{,}02\), et \(\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}} = \dfrac{1}{0{,}02} = 50\). Diviser par un nombre plus petit que \(1\) fait grandir le résultat.
5. 1872 : un monstre entre à l'Académie
Une courbe sans aucune tangente, nulle part.
Jusque-là, les accidents sont isolés : un coin en \(0\), une verticale en \(0\), et tout va bien ailleurs. Les mathématiciens du XIXe siècle en étaient convaincus — une courbe continue, tracée d'un seul trait, devait bien avoir une tangente presque partout.
Le 18 juillet 1872, Karl Weierstrass présente à l'Académie des sciences de Berlin une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) qui n'est dérivable en aucun point. Elle s'obtient en empilant des cosinus de plus en plus serrés et de plus en plus petits. En voici une du même type, plus simple que celle de 1872 (Godfrey Hardy a montré en 1916 qu'elle non plus n'a de tangente nulle part) :
\[W(x) = \cos(\pi x) + \tfrac{1}{2}\cos(3\pi x) + \tfrac{1}{4}\cos(9\pi x) + \tfrac{1}{8}\cos(27\pi x) + \cdots\]Largeur de la fenêtre :
Chaque zoom fait apparaître de nouvelles aspérités, aussi rugueuses que les précédentes. La courbe ne se redresse jamais : aucun point n'a de tangente.
L'accueil fait aux « monstres »
L'exemple a durablement dérangé. En 1893, dans une lettre à Stieltjes, Charles Hermite écrit qu'il se détourne avec effroi de ces fonctions continues sans dérivée. Henri Poincaré écrira, lui : « La logique parfois engendre des monstres » (Science et méthode, 1908). Il faudra plusieurs décennies pour que ces objets cessent d'être vus comme des curiosités pathologiques — ils sont aujourd'hui au cœur de la description des phénomènes irréguliers, des cours de Bourse aux profils de montagnes.
Elle se trace pourtant d'un seul trait, sans saut : elle est bien continue. Ce qui lui manque, c'est la « droite au zoom », c'est-à-dire la tangente.
6. Trancher par le calcul : la console Python
L'œil peut se tromper ; les taux, eux, répondent.
Zoomer donne une impression. Pour décider, on revient à la définition 2 : on calcule le taux pour des \(h\) de plus en plus petits et on regarde s'il se fixe. Le programme ci-dessous le fait pour nos trois fonctions d'un coup.
La dernière instruction range les résultats en colonnes : le carré en \(3\), la valeur absolue en \(0\) par la droite puis par la gauche, et le monstre en \(0{,}4\). Exécutez, puis comparez les colonnes.
Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.
Lire les résultats
| \(h\) | carré en \(3\) | \(|x|\), \(h>0\) | \(|x|\), \(h<0\) | monstre en \(0{,}4\) |
|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 6,10000 | 1,00 | −1,00 | 1,27 |
| 0,01 | 6,01000 | 1,00 | −1,00 | 0,11 |
| 0,001 | 6,00100 | 1,00 | −1,00 | 1,50 |
| 0,0001 | 6,00010 | 1,00 | −1,00 | −32,48 |
| 0,00001 | 6,00001 | 1,00 | −1,00 | 105,97 |
Colonne du carré : les valeurs se fixent sur \(6\), et l'on peut même le prouver, car le taux du carré en \(3\) vaut exactement \(6+h\). Colonnes de la valeur absolue : \(1\) d'un côté, \(-1\) de l'autre, quel que soit \(h\) — deux nombres, donc pas de nombre dérivé. Colonne du monstre : rien ne se fixe, et les écarts grandissent au lieu de diminuer.
Deux détails d'affichage. Dans \(\texttt{\{...:12.5f\}}\), le \(12\) est la largeur de la colonne et le \(5\) le nombre de décimales : c'est ce qui aligne les nombres. Et Python écrit \(\texttt{1e-05}\) pour \(0{,}00001\), tout comme il affiche parfois \(6{,}100000000000012\) au lieu de \(6{,}1\) — ses calculs sont menés en binaire, avec un nombre fini de chiffres. Ces minuscules erreurs d'arrondi ne changent rien à la conclusion.
Dans taux(f, a, h), le deuxième argument est le réel \(a\) où l'on étudie la fonction : ici 0.4. Essayez : le résultat est aussi désordonné partout ailleurs.
7. Des monstres tout à fait ordinaires
La rugosité n'est pas une invention de mathématicien.
En 1904, Helge von Koch construit une courbe faite de triangles emboîtés à l'infini : chaque segment est remplacé par quatre segments trois fois plus courts. Elle est continue, et pourtant hérissée de coins à toutes les échelles — donc sans tangente.
En 1967, Benoît Mandelbrot publie dans Science un article au titre étrange : quelle est la longueur de la côte de la Grande-Bretagne ? Sa réponse : cela dépend de la règle utilisée pour la mesurer, car plus on regarde de près, plus la côte révèle de détails. Une côte, un flocon, un profil de montagne, un tracé de cours de Bourse : autant d'objets qui ne se redressent jamais au zoom.
Ce que cela dit du chapitre
Une fonction dérivable est une fonction lisse : localement, elle se confond avec une droite. C'est une propriété forte, et c'est justement elle qui autorise les outils du chapitre — tangente, approximation affine, vitesse instantanée.
C'est le zoom de l'écran 1, lu à l'envers : puisque de tout près la courbe et la tangente se confondent, on remplace \(f(a+h)\) par l'ordonnée du point de la tangente. Sans dérivabilité, l'approximation n'a aucun sens.
8. Ce qu'il faut retenir
Le fil, d'un bout à l'autre.
Le raisonnement
Zoomer sur \(A\), c'est regarder des sécantes de plus en plus courtes. Leur pente est un taux de variation :
\[\text{zoom sur } A \;\longrightarrow\; \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \;\longrightarrow\; f'(a).\]Quand ce taux se fixe, la courbe admet une tangente en \(A\) et \(f'(a)\) en est la pente. Quand il ne se fixe pas — coin de la valeur absolue, verticale de la racine carrée, rugosité des monstres à la Weierstrass —, il n'y a ni nombre dérivé ni tangente.
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