Atelier G — Coriolis et le cheval de halage

1. Le cheval et la péniche

Au XIX^e siècle, sur les canaux de France.

Avant les moteurs, les péniches avancent sur les canaux tirées par des chevaux. Le cheval marche sur le chemin de halage, le long de la berge, et tire le bateau par une longue corde. La corde n'est donc pas parallèle au canal : elle fait un angle avec lui.

Vue de dessus (les proportions ne sont pas respectées).

Toute la force du cheval sert-elle à faire avancer la péniche ? Une part tire le bateau vers la berge, ce qui ne le fait pas avancer. C'est la question à laquelle répond, en 1829, l'ingénieur et mathématicien Gaspard-Gustave Coriolis dans son livre Du calcul de l'effet des machines : il y donne au mot travail le sens qu'il a toujours en physique, pour mesurer l'effet utile d'une force.

2. Le travail d'une force

Une force, un déplacement, un angle : un produit scalaire.

La péniche se déplace de \(A\) à \(B\) le long du canal ; le cheval exerce une force \(\vec{F}\), dirigée selon la corde, qui fait un angle \(\theta\) avec le déplacement. Faites varier l'angle : seule la projection de la force sur le canal, en pointillé, fait avancer le bateau.

Angle \(\theta\) de la corde :

Part utile de la force : \(F\times\cos\theta\) = de la force

Le travail selon Coriolis

Le travail de la force \(\vec{F}\) au cours du déplacement \(\overrightarrow{AB}\) est le produit de la longueur du déplacement par la part utile de la force : c'est le produit scalaire \[W = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F\times AB\times\cos\theta.\] La force s'exprime en newtons (N), le déplacement en mètres (m), le travail en joules (J).

Dans l'exemple ci-dessous, le cheval tire avec une force de 800 newtons.

Le cheval tire avec une force de \(800\) N et la péniche avance de \(150\) m ; la corde fait un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) avec le canal. Quel est le travail de la force du cheval ? une seule réponse

D'après le théorème 1 : \(W = 800\times 150\times\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 120\,000\times\dfrac{1}{2} = 60\,000\) joules. Le piège \(120\,000\) oublie le cosinus : il ferait comme si la corde était parallèle au canal ; \(60\,000\sqrt{3}\) prend le sinus au lieu du cosinus.

3. Moteur, résistant ou nul

Le signe du produit scalaire a un sens physique.

D'après le théorème 1, le signe du travail est celui de \(\cos\theta\) :

Trois cas

\(\theta\) aigu : \(\cos\theta > 0\), le travail est moteur : la force aide le mouvement.

\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) : \(\cos\theta = 0\), le travail est nul : la force est orthogonale au déplacement.

\(\theta\) obtus : \(\cos\theta < 0\), le travail est résistant : la force freine le mouvement.

Si la corde était perpendiculaire au canal, que vaudrait le travail de la force du cheval ?

La force serait orthogonale au déplacement : \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\), donc \(W = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = 0\) (théorème 2). Le cheval s'épuiserait à tirer la péniche contre la berge, sans la faire avancer.

Le vent pousse la péniche : sa force fait un angle de \(\dfrac{3\pi}{4}\) avec le déplacement. Le travail du vent est :

\(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) est négatif : le produit scalaire \(\vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F\times AB\times\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\) a le même signe, quelles que soient les longueurs. Le vent freine la péniche : son travail est résistant.

4. Le travail par projection

La définition 1 du produit scalaire, vue par un ingénieur.

On représente la force par un vecteur \(\overrightarrow{AF}\) d'origine \(A\), dont la longueur \(AF\) est la valeur de la force. Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(F\) sur le canal, la part utile de la force est \(AH\), et le travail vaut \(AB\times AH\) : c'est exactement la définition 1 du produit scalaire.

La péniche avance de \(AB = 20\) m. Le projeté orthogonal de l'extrémité du vecteur force sur le canal est à \(500\) N de son origine, dans le sens du déplacement. Le travail de la force vaut :

Par projection (définition 1), le projeté est du même côté que le déplacement : \(W = 20\times 500 = 10\,000\) joules. On n'a besoin ni de la corde, ni de l'angle : la projection fait le travail.

5. Un canal qui tourne

Un tronçon après l'autre, on ajoute les travaux.

Un canal n'est pas une ligne droite : il est fait de tronçons rectilignes, et sur chacun la corde fait un angle différent avec le canal. Le travail total est la somme des travaux sur chaque tronçon.

Un exemple calculé à la main

Le cheval tire avec une force de \(400\) N. Sur un premier tronçon de \(100\) m, la corde fait un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) ; sur un second de \(200\) m, elle est parallèle au canal (angle \(0\), \(\cos 0 = 1\)) : \[W = 400\times 100\times\dfrac{1}{2} + 400\times 200\times 1 = 20\,000 + 80\,000 = 100\,000 \text{ J}.\]

Un cheval tire avec une force de \(500\) N. Sur un premier tronçon de \(300\) m, la corde fait un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) avec le canal ; sur un second de \(150\) m, elle lui est parallèle. Quel est le travail total ?

On ajoute les travaux des deux tronçons : \(500\times 300\times\dfrac{1}{2} + 500\times 150\times 1 = 75\,000 + 75\,000 = 150\,000\) joules (\(\cos 0 = 1\) sur le second tronçon).

6. Tout le canal : la console Python

Ce qui serait long à la main, la machine le fait en un instant.

Avec beaucoup de tronçons et des cosinus comme \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), le calcul à la main devient long. Le programme ci-dessous range les tronçons dans une liste : chaque tronçon est un couple (longueur, angle). La fonction travail parcourt la liste et ajoute les travaux un à un.

from math import cos, pi def travail(F, troncons): W = 0 for (d, angle) in troncons: # chaque tronçon de la liste W = W + F * d * cos(angle) # on ajoute son travail return W exemple = [(100, pi/3), (200, 0)] canal = [(100, pi/3), (250, pi/4), (150, pi/6), (300, pi/3), (200, pi/4)] print("Exemple de l'écran 5 :", round(travail(400, exemple)), "J") print("Tout le canal :", round(travail(400, canal)), "J")

Exécutez d'abord le programme : la première ligne affichée doit redonner les \(100\,000\) J calculés à la main à l'écran 5 — c'est la preuve que le programme calcule juste. La seconde ligne donne le travail sur tout le canal, hors de portée d'un calcul mental.

Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.

Comment modifier la liste ?

Dans la ligne canal = [...], ajoutez une virgule après la dernière parenthèse, puis le nouveau couple, avant le crochet fermant : (200, pi/4), (50, pi/3)]. Puis cliquez de nouveau sur « Exécuter ».

Ajoutez à la fin de la liste canal le tronçon (200, pi/3) : 200 m où la corde fait un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\). Quel travail total le programme affiche-t-il ?

La liste devient canal = [(100, pi/3), (250, pi/4), (150, pi/6), (300, pi/3), (200, pi/4), (200, pi/3)] (une virgule avant la nouvelle parenthèse). Le programme affiche alors \(299\,241\) : le nouveau tronçon ajoute \(400\times 200\times\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) au travail précédent, \(259\,241\).

7. Ce qu'il faut retenir

Le fil, d'un bout à l'autre.

Le travail, un produit scalaire

Le travail d'une force constante \(\vec{F}\) au cours d'un déplacement rectiligne \(\overrightarrow{AB}\) est le produit scalaire \(W = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}\). On le calcule avec l'angle (théorème 1), \(W = F\times AB\times\cos\theta\), ou par projection (définition 1), \(W = AB\times AH\).

Son signe dit si la force aide le mouvement (moteur), le freine (résistant) ou ne compte pas (nul, force orthogonale au déplacement). Sur un trajet fait de plusieurs tronçons, on ajoute les travaux : c'est ce que fait la boucle du programme Python.

Vous retrouverez le travail d'une force en physique-chimie, avec la même formule.

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